Метод случайных функций

1. Метод случайных функций

1.1. Определение показателей точности ТС технологических операций методом случайных функций производится расчетом характеристик случайного процесса изменения контролируемого параметра x(t): математического ожидания m{x(t)} и дисперсии D{x(t)}.

1.2. Исходные данные для определения величин m{x{t)} и D{x(t)} получают в ходе выборочного обследования не менее десяти реализации технологического процесса.

1.2.1. Полученные в результате обследования значения контролируемых параметров деталей заносят в таблицу (см. табл. 1), в которой через t₁, t₂, ..., t_k, ..., t₁ ..., t_m обозначают номера последовательно обрабатываемых деталей одной партии (или моменты времени проведения измерений), а через x₁(t), x₂(t), x_n(t) обозначают отдельные реализации технологического процесса (партии или выборки из партии).

Таблица 1

x(t)	t
	t1	t2	…	tk	…	t1	...	(tm)
x1(t)	x1(t1)	x1(t2)	…	x1(tk)	…	x1(t1)	…	x1(tm)
x2(t)	x2(t1)	x2(t2)	…	x2(tk)	…	x2(t1)	…	x2(tm)
…	…	…	…	…	…	…	…	…
xj(t)	xj(t1)	xj(t2)	…	xj(tk)	…	xj(t1)	…	xj(tm)
…			…		…		…
xn(t)	xn(t1)	xn(t2)	…	xn(tk)	…	xn(t1)	…	xn(tm)

1.2.2. Значения t₁, t₂, .., t_m следует задавать равноотстоящими (t₂-t₁=t₃-t₂=t_m-t_m-1).

1.2.3. В зависимости от объема партий разность следует брать таким образом, чтобы количество измеряемых деталей m в одной партии или реализации было не менее, десяти.

1.2.4. Оценки математических ожиданий {x(t_k)} и дисперсий {x(t_k)} вычисляют по формулам:

;                                                            (1)

;                                                 (2)

или

,                               (3)

где x_j(t_k) - значение j-й реализации в момент t_k;

n - количество реализации.

1.2.5. Вычисленные по формулам (1), (2), (3) значения {x{t_k)}, {x{t_k)} следует выравнивать по формулам, приведенным в табл. 2.

1.2.6. Если мгновенное поле рассеяния контролируемого параметра постоянно в процессе обработки партии деталей, а уровень настройки постоянный или смещается по линейной зависимости, каждую реализацию следует представлять линейной функцией вида

(t_k)=u_j·t_k+x_0j,                                                           (4)

где t_k=t₁; t₂; …, t_m- момент окончания обработки k-й детали;

(t_k) - значение уровня настройки в t_k-й момент времени;

x_0j - случайная величина погрешности настройки j-й реализации;

u_j - случайная величина скорости смещения уровня настройки, численно равная тангенсу угла наклона прямой.

1.2.7. Для. любого t_k по всем реализациям находят оценки: среднего квадратического отклонения случайной погрешности

,                                    (5)

где S_m- оценка среднего квадратического отклонения математического ожидания погрешности настройки (х₀), характеризующего фактический уровень настройки

;                                               (6)

Таблица 2

Функция		Формулы для определения постоянных по способу наименьших квадратов	График функций
y=ax+b
y=ax2+bx+c
y=abx или lgy=lga+xlgb
y=axb или lgy=lga+blgx

дисперсии погрешности настройки

;                                          (7)

математического ожидания (u) скорости смещения уровня настройки

;                                                        (8)

дисперсии скорости смещения уровня настройки

.                                       (9)

1.3. Коэффициент точности ТС технологической операции вычисляют по формуле, приведенной в п. 2.6.1 настоящего стандарта. При этом w определяют по следующим формулам:

при смещении уровня настройки к верхнему предельному отклонению контролируемого параметра

;                         (10)

при смещении уровня настройки к нижнему предельному отклонению контролируемого параметра

.                          (11)

1.4. Коэффициент точности ТС технологической операции для случаев, когда каждую реализацию представляют линейной функцией, вычисляют по формуле, приведенной в п. 2.6.1 настоящего стандарта. При этом w (для любых случаев смещения уровня настройки) определяют по формуле

               .                   (12)

1.5. Для обеспечения надежности ТС технологической операции по точности при определении функции {x(t)} и {x(t)} по п. 1.2.4, необходимо, чтобы в моменты t_k выполнялись следующие неравенства:

при смещении уровня настройки к верхней границе поля допуска

,                                        (13)

где х_в, х_н - соответственно, верхнее и нижнее предельные значения контролируемого параметра;

 - среднее квадратическое отклонение контролируемого параметра, вычисленное для момента времени t_k по всем реализациям;

при смещении уровня настройки к нижней границе поля допуска

.                                        (14)

1.6. Для обеспечения надежности ТС технологической операции по точности при определении функций {x(t)} и {x(t)} по пп. 1.2.6 и 1.2.7 необходимо, чтобы в моменты t_к, выполнялись следующие неравенства:

при смещении уровня настройки к верхней границе поля допуска

;                  (15)

при смещении уровня настройки к нижней границе поля допуска

.                 (16)

1.7. В случае единичного и мелкосерийного производства для обеспечения надежности ТС технологической операции по точности в выражения (13), (14), (15), (16) в качестве исходных данных {x_j(t_k), j=1...n; k=1...m} следует подставлять значения приведенных отклонений, определяемые по справочному приложению 5.

1.8. Пример. Определить коэффициент точности ТС токарной операции по данным выборочного обследования десяти реализации, указанным в табл. 3, и для допуска Т=30 мкм.

1.8.1. Определяем значения {х(t_k)} и {х(t_k)} по формулам (1) и (3) и среднее квадратическое отклонение из выражения  для каждого момента времени t_k (R=1... 10).

Результаты вычислений {х(t_k)} и {х(t_k)} даны в табл. 3.

Таблица 3

x(t)	t
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1(t)	18	18	16	14	10	7	4	2	2	2
x2(t)	18	14	16	10	10	6	7	2	3	2
x3(t)	15	10	10	6	7	3	4	2	3	1
x4(t)	20	15	13	8	9	5	5	2	3	2
x5(t)	16	10	9	6	7	1	3	1	3	2
x6(t)	16	14	9	8	4	4	2	3	2	5
x7(t)	14	13	9	8	4	4	1	2	1	8
x8(t)	11	11	6	6	2	3	1	1	5	6
x9(t)	17	13	10	11	6	7	4	6	5	9
x10(t)	18	18	13	13	9	9	7	9	8	11
{х(tk)}	16,3	16,6	11,1	9,0	6,8	4,9	3,8	3,0	3,5	4,8
{х(tk)}	2,53	2,87	3,28	2,88	2,77	2,72	2,14	2,54	2,02	3,54

1.8.2. Рассчитываем коэффициент точности по п. 1.6.

2.6. Пример. Определить коэффициент точности ТС операции обработки корпусной заготовки, закрепленной в приспособлении на столе вертикально-фрезерного станка, торцевой фрезой, установленной в шпинделе (при помощи оправки).

2.6.1. Исходные данные. В соответствии со схемой фрезерования суммарная погрешность контролируемого параметра включает следующие элементарные погрешности:

геометрическую погрешность станка D₁=30 мкм;

погрешность базирования D₂=0 (вследствие совпадения измерительной и установочной базы);

погрешность закрепления D₃=20 мкм;

погрешность изготовления приспособления D₄==20 мкм;

погрешность изготовления инструмента D₅=0 (предполагаем, что настройку на размер ведут по наиболее выступающему зубу фрезы, а, следовательно, биение зубьев не влияет на контролируемый параметр);

погрешность настройки фрезы на размер D₆=40 мкм;

погрешность, связанная с размерным износом инструмента D₇=0 (считаем, что ее можно компенсировать поднастройкой фрезы);

погрешность измерений D₈=90 мкм;

погрешность, вызванная отжатием фрезы от заготовки под действием сил резания D₉=30 мкм.

Допуск на контролируемый параметр Т равен 200 мкм.

2.62. Определяем величину суммарной погрешности контролируемого параметра d_S.

При этом значения коэффициентов l₁,…, l₉ принимаем равными 0,111, полагая, что условия обработки заготовки таковы, что распределение элементарных погрешностей будет близким к закону Гаусса.

Принимаем риск Р=1% и по табл. 4 находим значение К=2,57.

Определяем искомую величину d_S по формуле (17)

мкм.

2.6.3. Определяем коэффициент точности по п. 2.5:

3.8. Пример. Произвести контроль точности ТС технологической операции методом приведенных отклонений.

3.8.1. Исходные данные. В результате измерения размеров отверстий диаметром 450Н9 и диаметром 350Н9 получены следующие восемь значений:

x₁ = 460,03 мм;

х₂ = 460,06 мм;

х₃ = 460,09 мм;

х₄ = 460,12 мм;

y₁ = 350,02 мм;

y₂ = 350,05 мм;

y₃ = 350,06 мм;

y₄ = 350,10 мм.

На черт. 4 показано расположение отклонений измеренных размеров в пределах своих полей допусков.

3.8.2. Определяем приведенные отклонения по формуле (1):

для отверстия диаметром 460Н9:

;

;

Черт. 4

;

;

для отверстия диаметром 350Н9:

;

;

;

3.8.3. Поскольку рассчитанные приведенные отклонения удовлетворяют условию (5), то, в соответствии с п. 3.7, точность ТС следует считать удовлетворительной.

4. Пример. Для операции резания на автомате продольного точения погрешность обработки детали по диаметру  задана в виде суммы нормально распределенной погрешности настройки с параметрами m=10 мм, s=0,002 мм и смещения центра группирования по линейному закону со скоростью u=0,002 мм/ч.

Определить вероятность выполнения задания P(t) по указанному диаметру для момента времени t=3 ч.

4.1. По условию задачи плотность распределения погрешности обработки имеет вид

.

4.2. Подставляем искомую вероятность согласно выражению (1) в виде

,

где  - функция нормального распределения.

4.3. Подставляем в последнее выражение верхнее предельное значение х_в=10,01 мм, нижнее предельное значение х_н=9,955 мм и параметры m, s и u из условия задачи:

.

7. Пример. В процессе выборочного приемочного контроля одна из трех партий деталей, прошедших термическую обработку, была забракована.

Партия принималась в случае, если в выборке объема n=5 не было ни одной дефектной детали и браковалась в противном случае. Объем партии N=1000 шт.

Определить вероятность выполнения задания Р по параметрам качества продукции, если известно, что эта величина лежит в пределах

0,956 £ Р £ 1.

7.1. Из условия задачи задаемся априорной плотностью распределения величины Р:

7.2. Представляем искомую вероятность согласно выражению (2) в виде

где Р_n(х) - вероятность приемки партии при фиксированном значении Р=х.

7.3. Подставляя в последнюю формулу выражение вероятности приемки Р_n(х) для заданного плана контроля в случае N³nP_n(x)=x⁵ будем иметь

.

Источник: ГОСТ 27.202-83: Надежность в технике. Технологические системы. Методы оценки надежности по параметрам качества изготовляемой продукции оригинал документа